Para-differential Calculus and Applications to the Cauchy Problem for Nonlinear Systems

Lo scopo principale di questi "Appunti" è di presentare, ad un livello introduttivo, moderni e svariati strumenti di analisi microlocale, utili nello studio matematico delle equazioni alle derivate parziali non lineari. Il nocciolo di questi appunti è dedicato alla presentazione delle tecniche para-differenziali, che combinano una procedura di linearizzazione delle equazioni non lineari ad un calcolo simbolico che riproduce o estende il calcolo classico dei moltiplicatori di Fourier. Questi metodi possono essere applicati a molti problemi nel campo delle equazioni alle derivate parziali non lineari, come equazioni ellittiche, propagazione delle singolarità, problemi al bordo, shocks o strati limite. Tuttavia, in queste note introduttive, si è scelto di illustrare la teoria tramite due esempi selezionati, e relativamente semplici, che permettono di acquisire una certa familiarità con le tecniche. Gli esempi riguardano la buona posizione del problema di Cauchy per sistemi di equazioni alle derivate parziali non lineari, prima per sistemi iperbolici e poi per sistemi accoppiati di equazioni di Schrödinger che si manifestano in vari modelli di propagazione delle onde.